Das Cavalierische Prinzip

Das Cavalierische Prinzip​ - ein Mathematik Referat

Dieses Referat hat Mohammed geschrieben. Mohammed ging in die 8. Klasse. Für dieses Mathematik Referat hat wurde die Note 1 vergeben.
Schulnote.de und alle anderen SchülerInnen, die dieses Referat benutzen, bedanken sich bei Mohammed herzlichst für die fleißige Unterstützung und Bereitstellung dieser Hausaufgabe.

Ihr könnt die Leistung von Mohammed würdigen und mit Sternen nach Schulnoten bewerten.

Reden und Vorträge halten.

Bei Vorträgen ist die Vorbereitung und Übung das Wichtigste. Notiere Dir nur Stichpunkte zu Deinem Referat, um nicht in Versuchung zu kommen abzulesen. Vergiss bei Deiner Vorstellung nicht zu erwähnen, wer Du bist – also Deine Vorstellung, und über wen bzw. über was Du Deine Rede hältst. Rede frei und beachte Deine Zuhörer, aber lasse Dich nicht ablenken. Schaue in Deine Klasse und beobachte die Reaktionen. Passe dann Deine Redegeschwindigkeit an. Ein gutes Referat sollte 5-7 Minuten dauern. Verpacke etwas Witz in Deinem Vortrag, um Dein Publikum nicht zu langweilen. Viel Erfolg wünscht Schulnote.de!

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Dies ist ein Artikel geschrieben von SchülerIn Mohammed, schulnote.de ist weder für die Richtigkeit noch für die Quelle verantwortlich.

Das Cavalierische Prinzip

Das Bild zeigt einen quaderförmigen rötlichen Turm. Beim grünen und blauen Turm sind die Stockwerke jeweils unterschiedlich stark in eine bestimmte Richtung verschoben. Der Grundriss und die Dachfläche sind bei allen Türmen gleich.


Abbildung 1

Schneidet man die Türme in beliebiger Höhe mit einer zur Grundfläche des gläsernen Quaders, auf der alle drei Türme stehen, parallelen Ebene, so erhält man jeweils Schnittflächen mit gleichem Flächeninhalt, wie Abbildung 2 veranschaulicht.


Abbildung 2

Stellt man sich die Türme als Kartenstapel vor, so kennt man diese Aussage aus eigener Erfahrung. Dabei ist klar, dass der Stapel schichtartig aufgebaut ist und dadurch keine geraden Kanten und ebene Seitenflächen besitzt.
Es ist klar, dass das Volumen der drei Türme jeweils gleich ist, da das Verschieben der Schichten das Volumen nicht ändert!

Die Körper in Abbildung 3 entstehen, wenn man die Schichtdicke im Stapel immer geringer macht und schließlich unendlich gering werden lässt. Da für jede Schichtdicke Schnittflächen auf gleicher Höhe gleichen Inhalt haben, gilt dies nun auch für die Körper in Abbildung 3.


Abbildung 3

Damit stimmen die drei Körper auch in ihrem Volumen überein.

Es gilt: Volumen = Grundfläche * Höhe

Die für die quaderförmigen Türme gemachten Aussagen gelten auch für beliebige Figuren, die auf gleicher Höhe gleiche Schnittflächeninhalte haben.

In Abbildung 4 sind neben einer geraden Pyramide zwei schiefe Pyramiden zu sehen.




Abbildung 4

Es gilt: Volumen Pyramide = 1/3 * Grundfläche * Höhe

Sind die Schnittflächen auf beliebiger Höhe einer Pyramide und eines Kegels jeweils gleich, so sind die Körper demnach auch volumengleich.


Abbildung 5

Es gilt: Volumen Kegel = 1/3 * Grundfläche * Höhe




Das Volumen einer Kugel



Die Abbildung zeigt links eine Halbkugel und rechts einen Zylinder, aus dem ein Kegel herausgebohrt wurde. Halbkugel und Zylinder stehen auf einer gemeinsamen Ebene und haben den gleichen Radius. Die Höhe des Zylinders ist gleich dem Grundkreisradius.

Auf der Höhe h über der Grundebene schneidet nun eine Parallelebene die beiden Körper.



Die Schnittflächen sind in roter Farbe gekennzeichnet. Die Schnittfläche mit der Halbkugel ist ein Kreis, die Schnittfläche mit dem ausgebohrten Zylinder ein Kreisring.
Für die Berechnung der Inhalte dieser Schnittflächen eignet sich noch besser eine 2D-Zeichnung.
Berechnung der Schnittflächen:

Halbkugel:
Es gilt: R² + h² = r²
è R² = r² – h²
è A Schnittfläche = (r² – h²) * p

Zylinder:
Wegen h Zylinder = r sind die Dreiecke zu beiden Seiten des ausgebohrten Kegel gleichschenklig. Damit ist zu erkennen, dass der innere Kreisring den Radius h hat.
è A Kreisring = r²p – h²p = (r² – h²) * p

Die Inhalte der beiden rot gekennzeichneten Schnittflächen sind also für jeden Wert von h und r gleich. Nach dem Cavalierischen Prinzip sind dann auch die Volumina der entsprechenden Körper gleich.

Berechnung des Volumen der Halbkugel:

V Halbkugel = V Zylinder – V Kegel = r²p * r – 1/3 * r²p * r =
2/3 * r³ * p


Der Autor hat leider keine Quellen genannt.

Direktor Schulnote.de

Mohammed

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Mathematik
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