Maturamappe Mathematik

Maturamappe Mathematik​ - ein Mathematik Referat

Dieses Referat hat Anna geschrieben. Anna ging in die 11. Klasse. Für dieses Mathematik Referat hat wurde die Note 2 vergeben.
Schulnote.de und alle anderen SchülerInnen, die dieses Referat benutzen, bedanken sich bei Anna herzlichst für die fleißige Unterstützung und Bereitstellung dieser Hausaufgabe.

Ihr könnt die Leistung von Anna würdigen und mit Sternen nach Schulnoten bewerten.

Reden und Vorträge halten.

Bei Vorträgen ist die Vorbereitung und Übung das Wichtigste. Notiere Dir nur Stichpunkte zu Deinem Referat, um nicht in Versuchung zu kommen abzulesen. Vergiss bei Deiner Vorstellung nicht zu erwähnen, wer Du bist – also Deine Vorstellung, und über wen bzw. über was Du Deine Rede hältst. Rede frei und beachte Deine Zuhörer, aber lasse Dich nicht ablenken. Schaue in Deine Klasse und beobachte die Reaktionen. Passe dann Deine Redegeschwindigkeit an. Ein gutes Referat sollte 5-7 Minuten dauern. Verpacke etwas Witz in Deinem Vortrag, um Dein Publikum nicht zu langweilen. Viel Erfolg wünscht Schulnote.de!

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Dies ist ein Artikel geschrieben von SchülerIn Anna, schulnote.de ist weder für die Richtigkeit noch für die Quelle verantwortlich.

Maturamappe Mathematik, Beispiele, Formeln, Ableitungen, Graphen aus den Gebieten, Ellipse, Sonderfall: Kreis, Hyperbel, Parabel, Komplexe Zahlen, Die Menge C als nicht geordneter Körper, Gleichungen höheren Grades, Funktionen

Bsp. 1)

Ellipse

1. Hauptlage:


2. Hauptlage:



F1, F2 ……………….. Brennpunkte

MF1 = MF2 = e ….. Brennweite = lineare Exzentrizität

A, B ………………….. Hauptscheitel

AB = 2a …………….. Hauptachse

C, D ………………….. Nebenscheitel

CD = 2b …………….. Nebenachse



a² = b² + e²



Definition:

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.

ell={X | XF1 + XF2 = 2a}



Spezialfälle:

1) a=b ® Kreis (e=0, F1=F2=M)

2) b=e ® gleichseitige Ellipse



Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage:


Gleichung einer Ellipse in 2. Hauptlage:

b²x² + a²y² = a²b²


a²x² + b²y² = a²b²

x²/a² + y²/b² = 1


x²/b² + y²/a² = 1



Ableitung der Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage:

XF1 + XF2 = 2a

X (x/y) F1 (-e/0) F2 (e/0)

X®F1 = (-e-x -y)

|(-e-x -y)| + |(e-x -y)| = 2a

Ö[(-e-x)²+(-y)²] + Ö[(e-x)²+(-y)²] = 2a

Ö[e²+2ex+x²+y²] = 2a – Ö[e²-2ex+x²+y²] /²

e²+2ex+x²+y² = 4a² – 4aÖ[e²-2ex+x²+y²] + e²-2ex+x²+y²

4ex-4a² = -4aÖ[e²-2ex+x²+y²] /:4

-a²+ex = -aÖ[e²-2ex+x²+y²] /²

a4-2a²ex+e²x² = a²e²-2a²ex+a²x²+a²y²

e²x²-a²x²-a²y² = -a4+a²e²

e² = a²-b²

a²x²-b²x²-a²x²-a²y² = -a4+a4-a²b² /*(-1)

b²x²+a²y² = a²b²



Berührbedingung der Ellipse in 1. Hauptlage:

g: y=kx+d

ell: b²x²+a²y²=a²b²

b²x²+a²(kx+d)²=a²b²

b²x²+a²k²x²+2a²dkx+a²d²=a²b²

(b²+a²k²)x²+(2a²dk)x+(a²d²-a²b²)=0 /:(b²+a²k²)>0

x²+2[a²dk] /[b²+a²k²]x+[a²d²-a²b²] /[b²+a²k²] =0

x1,2 =-[a²dk] /[b²+a²k²] ±Ö[[a^4d²k²] /[(b²+a²k²)²] – [(a²d²-a²b²)(b²+a²k²)] /[(b²+a²k²)²] ]

x1,2 =-[a²dk] /[b²+a²k²] ± [1] /[b²+a²k²] Ö[a4d²k²-[TG1] a²b²d²+a²b4-a4d²k²+a4b²k²]

D = a²b² (-d²+b²+a²k²)

D>0 ® 2 Lösungen ® Sekante

D<0 ® {} ® Passante

D=0 ® 1 Lösung ® Tangente

-d²+b²+a²k²=0

b² + a²k² = d²

Spezialfall: a=b=r

r²+r²k²=d²

r²(1+k²)=d²



Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Ellipse in 1. Hauptlage:

T (x1/y1) Î ell:

b²x1x + a²y1y = a²b²

[x1x]/a² + [y1y]/b² = 1

P (x1/y1) Ï ell:

b²x1x + a²y1y = a²b²



Sonderfall: Kreis

Ursprungslage:


allgemeine Lage:





Definition:

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M den gleichen Abstand haben.

k(M,r) = {X | MX = r}



Kreisgleichung:

| M®X | = | X® | = r X® = (x y) m® = (u v)

| (x-0 y-0) | = r (X® – m®)² = r²

| (x y) | = r | M®X | = r

Ö[x²+y²] = r /² | (x-u y-v) | = r

x² + y² = r² Ö[(x-u)²+(y-v)²] = r /²

X®² = r² (x-u)² + (y-v)² = r²



Berührbedingung eines Kreises:

r² (1 + k²) = d² r² (1 + k²) = (ku -v + d)²

Bsp. 2)

Hyperbel

1. Hauptlage:


2. Hauptlage:



A, B …………………… Hauptscheitel

C, D …………………… Nebenscheitel

F1, F2 ………………… Brennpunkte

AB = 2a ……………… Hauptachse

CD = 2b ……………… Nebenachse

u, v ……………………. Asymptoten der Hyperbel



e² = a² + b²



Definition:

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.

hyp={X | |XF1 – XF2| = 2a}



Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage:


Gleichung einer Hyperbel in 2. Hauptlage:

b²x² – a²y² = a²b²


-a²x² + b²y² = a²b²



Ableitung der Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage:

linker Ast:

XF1 – XF2 = -2a

|(-e-x -y)| – |(e-x -y)| = -2a

Ö[(-e-x)²+y²] – Ö[(e-x)²+y²] = -2a

Ö[(-e-x)²+y²] = -2a + Ö[(e-x)²+y²] /²

e²+2ex+x²+y² = 4a²+e²-2ex+x²+y² -4aÖ[(e-x)²+y²]

2ex-2a² = -2aÖ[(e-x)²+y²]

ex-a² = -aÖ[(e-x)²+y²] /²


rechter Ast:

XF1 – XF2 = 2a

|(-e-x -y)| – |(e-x -y)| = 2a



Ö[(-e-x)²+y²] = 2a + Ö[(e-x)²+y²]





ex-a² = aÖ[(e-x)²+y²] /²

e²x²-2a²ex+a4 = a²e²-2a²ex+a²x²+a²y²

b²x²-a²y²=a²b²

e²x²-a²x²-a²y²=2a²ex-a4+a²e²-2a²ex

(e²-a²)x²-a²y²=a²e²-a4

b²x²-a²y²=a²(e²-a²)

b²x²-a²y²=a²b²



Berührbedingung der Hyperbel in 1. Hauptlage:

g: y=kx+d

hyp: b²x²-a²y²=a²b²

b²x²-a²(kx+d)²=a²b²

b²x²-a²k²x²-2a²kxd-a²d²=a²b²

(b²-a²b²)x²+(-2a²kd)x+(-a²d²-a²b²)=0 /:(b²-a²k²)¹0

x²+ [-2a²dk] /[b²a²k²]x+ [-a²d²-a²b²] /[b²-a²k²] =0

x1,2 =[a²dk] /[b²-a²k²] ±Ö[[a^4d²k²] / [(b²-a²k²)²] + [(a²d²+a²b²)(b²-a²k²)] / [(b²-a²k²)²] ]

D = b²+d²-a²k²

D>0 ® Sekante

D<0 ® Passante

D=0 ® Tangente

b²+d²-a²k²=0

a²k² – b² = d²

Spezialfall: b²-a²k²=0

k² = b²/a²

k = ± b/a

d=0 Þ u,v: y = ± b/a x

d¹0 Þ y = ± b/a x + d (|| ass)

Jede Gerade parallel zu einer Asymptote schneidet die Hyperbel in 1 Punkt (Sekante !).



Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage:

T (x1/y1) Î hyp:

b²x1x – a²y1y = a²b²

[x1x]/a² – [y1y]/b² = 1

P (x1/y1) Ï hyp:

b²x1x – a²y1y = a²b²

Bsp. 3)

Parabel

1. Hauptlage:


2. Hauptlage:



3. Hauptlage:


4. Hauptlage:



LF = p …………. Parameter

a …………………. Achse

l …………………. Leitlinie der Parabel

F …………………. Brennpunkt

A ………………… Scheitel der Parabel



Definition:

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, für die der Abstand von einem festen Punkt F gleich dem Abstand von einer festen Geraden l ist.

par={X | XF = Xl}



Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage:


Gleichung einer Parabel in 2. Hauptlage:

y² = 2px


x² = 2py

Gleichung einer Parabel in 3. Hauptlage:


Gleichung einer Parabel in 4. Hauptlage:

y² = -2px


x² = -2py



Ableitung der Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage:

XF = Xl

XF = |(p/2 -x -y)| = Ö[(p/2 -x)²+y²]

Xl = x + p/2

Ö[(p/2 -x)²+y²] = x+ p/2 /²

p^2 /4 -px+x²+y² = x²+px+ p^2 /4

y² = 2px



Berührbedingung der Parabel in 1. Hauptlage:

g: y=kx+d

par: y²=2px

k²x²+2dkx+d²=2px

k²x²+2dkx-2px+d²=0

(k²)x²+(2dk-2p)x+d²=0 /:k²¹0

x²+ [2(dk-p)] /[k²] + [d²] /[k²] =0

x1,2= [-dk+p] /[k²] ± Ö[[d²k²-2dkp+p²] /[k^4] – [d²k²] /[k^4] ]

x1,2= [-dk+p] /[k²] ± [1] /[k²] Ö[-2dkp+p²]

D = -2dkp + p² = p (-2dk + p)

D>0 ® Sekante

D<0 ® Passante

D=0 ® Tangente

p (-2dk + p) = 0

-2dk + p = 0

p = 2dk

Spezialfall: k=0

Þ || x-Achse

-2px+d²=0

Þ 1 Lösung

Jede Gerade parallel zur x-Achse schneidet die Parabel in genau 1 Punkt.



Tangentengleichung bzw. Polarengleichung der Parabel in 1. Hauptlage:

T (x1/y1) Î par:

y1y = px1 + px

y1y = p (x1 + x)

P (x1/y1) Ï par:

y1y = p (x1 + x)

Bsp. 4)

Komplexe Zahlen

1) Das Symbol „i“:

x² = a G = R

a) a > 0

L={Ö[a]; -Ö[a]}

b) a = 0

L={0(2) }

c) a < 0

L={}

Þ C …………………… komplexe Zahlen

x² = -a ; a>0

x² = a (-1)

x1,2= ± Ö[a] Ö[-1]

L={Ö[a]i ; -Ö[a]i}

Definition: Ö[-1] = i

Ö[-1] = i

i² = (Ö[-1])²

i² = -1

Vorsicht: (Ö[-1])²=-1 ¹ Ö[(-1)²]=1



ax²+bx+x=0 a,b,c Î R; a¹0 ……… allg. quadratische Gleichung

x1,2= [-b±Ö[b²-4ac]] /[2a] = – /[2a] ± [Ö[b²-4ac]] /[2a]

G = C

a) D = b²-4ac > 0

L={- /[2a] + [Ö[b²-4ac]] /[2a] ; – /[2a] – [Ö[b²-4ac]] /[2a]}

b) D = 0

L={- /[2a] (2) }

c) D < 0

Þ 4ac-b² > 0

L={- /[2a] + [Ö[4ac-b²]] /[2a] ; – /[2a] – [Ö[4ac-b²]] /[2a]}



allgemeine komplexe Zahl:

Z = a + b i a,b Î R

a = Re (Z) b = Im (Z)

a) b=0 Þ Z=a+0i ….. reelle Zahl

b) a=0 Þ Z=0+bi ….. imaginäre Zahl



Gleichheit von komplexen Zahlen:

Z1 = a+bi

Z2 = c+di

Z1 = Z2 Û (a=c) Ù (b=d)



2) Rechenregeln für komplexe Zahlen:

Z1 = a + b i Z2 = c + d i

Addition:

Z1 + Z2 = a+bi+c+di = (a+c) + (b+d)i

Subtraktion:

Z1 – Z2 = (a-c) + (b-d)i

Multiplikation:

Z1 * Z2 = (a+bi) (c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd) + (bc+ad)i

Division:

Z1 : Z2 = [Z1]/[Z2] = [a+bi] /[c+di] = [a+bi] /[c+di] [c-di] /[c-di] = [ac+bci-adi-bdi²] /[c²+d²] =

= [(ac+bd)+(bc-ad)i] /[c²+d²] = [ac+bd] /[c²+d²] + [bc-ad] /[c²+d²] i

c²+d² > 0 , sonst c=0,d=0 Þ Z2=0



Konjugiert komplexe Zahlen:

Z = a + b i Z- = a – b i



Potenzen von i:

i1 = i

i² = -1

i3 = i² * i = -1 * i = -i

i4 = i² * i² = (-1) * (-1) = 1



Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen:

Z + Z- = 2a

Z – Z- = 2bi

Z * Z- = a² + b²

(Z-)- = Z



Für komplexe Zahlen gilt auch der Satz von VIETA:

z²+pz+q=0 p,q Î C

mit Lösungen z1,z2

a) z1 + z2 = -p

b) z1 * z2 = q

c) z²+pz+q = (z-z1) (z-z2)



3) Veranschaulichung von komplexen Zahlen in der GAUSSschen Zahlenebene:

R …………….. reelle Achse

Im …………… imaginäre Achse

z = a + bi

z1 = 4 – 2i

z1- = 4 + 2i ………. um R-Achse spiegeln

z2 = 1 + 2i

z1 +z2 = 5

z1 – z2 = z1 + (-z2) = 3 – 4i

Jede komplexe Zahl läßt sich eindeutig als Vektor in der GAUSSschen Zahlenebene darstellen.

| z | = Ö[a²+b²] = r Î R ………. Radius

| z |² = | z² |



4) Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen:

a) z = a + bi

b) z = (a;b)

c) z = (r;j)

Polarkoordinaten:

r=Ö[a²+b²]

0
r ….. Betrag von z

j …. Argument von z

d) tan j = b/a

cos j = a/r

a = r cos j

sin j = b/r

b = r sin j

z = a + bi = r cos j + r sin j i = r (cos j + i sin j)



Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen:

1) kartesische Darstellung:

a) Zahlenpaar z = (a;b)

b) Binomialform z = a + bi

2) Polarkoordinatendarstellung:

a) Zahlenpaar z = (r; j)

b) trigonometrische Darstellung z = r (cos j + i sin j)



Multiplikation und Division komplexer Zahlen mit Hilfe von Polarkoordinaten:

z1 = r1 (cos j1 + i sin j1)

z2 = r2 (cos j2 + i sin j2)

z1 * z2 = r1 (cos j1 + i sin j1) r2 (cos j2 + i sin j2) =

= r1 * r2 (cos j1 cos j2 – sin j1 sin j2 + cos j1 sin j2 i + sin j1 cos j2 i) =

= r1 * r2 [ (cos j1 cos j2 – sin j1 sin j2) + i (cos j1 sin j2 + cos j2 sin j1) ] =

= r1 * r2 [cos (j1+j2) + i sin (j1+j2)]

z1 * z2 = (r1; j1) (r2; j2) = (r1*r2; j1+j2)

Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen werden die Radien multipliziert und die Winkel addiert.

z1/z2 = [r1 (cos j1 + i sin j1)] /[r2 (cos j2 + i sin j2)] =

= [r1 (cos j1 + i sin j1) (cos j2 – i sin j2)] /[r2 (cos j2 + i sin j2) (cos j2 – i sin j2)] =

= [r1 (cos j1 cos j2 + i sin j1 cos j2 – i sin j2 cos j1 – i² sin j1 sin j2)] /[r2 (cos² j2 + sin² j2)] =

= [r1 [(cos j1 cos j2 + sin j1 sin j2) + i (sin j1 cos j2 – cos j1 sin j2)]] /[r2 (cos² j2 + sin² j2)] =

= r1/r2 [cos (j1-j2) + i sin (j1-j2)]

z1/z2 = (r1; j1)/(r2; j2) = (r1/r2; j1-j2)

Beim Dividieren von komplexen Zahlen werden die Radien dividiert und die Winkel subtrahiert.



5) Graphisches Rechnen mit komplexen Zahlen:

Addition:


Subtraktion:



Multiplikation:


Division:



D0EZ1 » D(0,Z2,Z1*Z2) …………….. Strahlensatz

0E : 0Z1 = 0Z2 : 0Z1*Z2

1 : r1 = r2 : r1*r2

r1*r2 = r1*r2



6) Potenzieren von komplexen Zahlen:

z = r (cos j + i sin j)

zn = [r (cos j + i sin j)]n = rn (cos j + i sin j)n

zn = rn [cos j+j+j+… + i sin j+j+j+…] = rn [cos (j*n) + i sin (j*n)]

Þ (cos j + i sin j)n = cos (n*j) + i sin (n*j)

Formel von DE MOIVRE



7) Wurzelziehen (Radizieren) von komplexen Zahlen:

Definition: z Î C heißt n-te Wurzel aus z Î C, wenn zn = z

z=nÖ[z] n Î N, n ¹ 1

Bsp.: (1+i)² = 2i

(-1-i)² = 2i

Ö[2i] = 1+i

= -1-i

a) mit Binomialform:

Ö[2i] = a+bi /²

2i = a² +2abi -b²

0 + 2i = (a²-b²) + 2abi …………. Koeffizientenvergleich

0 = a²-b²

2 = 2ab Þ a=1/b

0 = 1/b² – b² /*b²

1-b4 = 0

b4 = 1

b² = +/(-) 1

b² = 1

b = ± 1

b1=1 a1=1

b2=-1 a2=-1

Ö[2i] = 1+i

= -1-i

b) mit Polarkoordinaten:

z1 = Ö[2i] = Ö[(2;90°)] = (Ö[2];90°/2) = (Ö[2];45°) = 1+i

z2 = (Ö[2];[360°+90°]/2) = (Ö[2];450°/2) = (Ö[2];225°) = -1-i



nÖ[z] = nÖ[(r;j)] = (nÖ[r];[ j+0*360°]/n) ……. 1. Nebenwert

= (nÖ[r];[ j+1*360°]/n) ……. 2. Nebenwert

= (nÖ[r];[ j+2*360°]/n) ……. 3. Nebenwert

……….

= (nÖ[r];[ j+(n-1)*360°]/n) ……. n. Nebenwert

= (nÖ[r];[ j+(k-1)*360°]/n) k=1,2,3,…,n

Eine Wurzel aus einer komplexen Zahl ist wieder eine komplexe Zahl.



8) Exponentialform komplexer Zahlen:

cos j + i sin j = eij

EULERsche Formel

z = r * eij ….. Exponentialform

e2pi = cos 2p + i sin 2p = 1

e[p/2]i = cos p/2 + i sin p/2 = i

ii = (e[p/2]i)i = e[p/2]i² = e[-p/2] = 1/[e[p/2] ] = 0.207879576351

2i = (e ln 2)i = e ln 2 i = cos (ln 2) + i sin (ln 2) = 0.77 + 0.64i

a = e ln a

Beweis: a = e ln a /ln

ln a = (ln a) (ln e)

ln a = ln a

Bsp. 5)

Die Menge C als nicht geordneter Körper

R ist geordnet, da “ a,b Î R gilt:

1) a < b

oder 2) a = b

oder 3) a > b

C ist nicht geordnet, da “ z1,z2 Î C nur gilt:

1) z1 = z2

oder 2) z1 ¹ z2

Bsp.: z1 = i

z2 = 2i

1) i = 2i /-i

0 = i f. A.

0+0i = 0+1i

2) i < 2i /-i

0 < i

i > 0 /*i>0

i² > 0

-1 > 0 f. A. …….. indirekter Beweis

3) i > 2i /-i

0 > i

i < 0 /*i<0

i² > 0

-1 > 0 f. A.

Þ bei komplexen Zahlen sinnlos: >, <

Þ C ist nicht geordnet



C ist ein Körper:

1) (C;+) kommutative Gruppe

a) Abgeschlossenheit: “ z1,z2 Î C: z1 + z2 = z3 Î C

b) Assoziativgesetz (AG): “ z1,z2,z3 Î C: (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3)

c) neutrales Element n: “ z Î C $ n Î C:

z + n = n + z = z

n = 0 = 0 + 0i Î C

d) inverses Element z*: “ z Î C $ z* Î C:

z + z* = z* + z = n = 0

z* = -z Î C

a) – d) Þ Gruppe

e) Kommutativgesetz (KG): “ z1,z2 Î C: z1 + z2 = z2 + z1

2) (C\{n=0};*) kommutative Gruppe:

a) Abgeschlossenheit: “ z1,z2 Î C\{0}: z1 * z2 = z3 Î C\{0}

b) Assoziativgesetz (AG): “ z1,z2,z3 Î C\{0}: (z1*z2)*z3 = z1*(z2*z3)

c) neutrales Element n1: “ z Î C\{0} $ n1 Î C\{0}:

z * n1 = n1 * z = z

n1 = 1 = 1 + 0i

d) inverses Element z*: “ z Î C\{0} $ z* Î C\{0}:

z * z* = z* * z = n1 = 1

z * z* = 1 /:z¹0

z* = 1/z = 1/[a+bi]

a) – d) Þ Gruppe

e) Kommutativgesetz (KG): “ z1,z2 Î C\{0}: z1 * z2 = z2 * z1

3) es müssen die beiden Distributivgesetze (DG) gelten:

“ z1,z2,z3 Î C:

z1*(z2+z3) = z1*z2 + z1*z3

(z1+z2)*z3 = z1*z3 + z2*z3

Þ C ist ein Körper (nicht geordnet)

Bsp. 6)

Berechne Ö[ -1/2 – [iÖ[3]] /[2] ] auf zwei Arten (mit, ohne Polarkoordinaten) und zeige, daß eine Lösung eine dritte Einheitswurzel ist.

Ö[ -1/2 – [iÖ[3]] /[2] ] = a + bi /²

-1/2 – [iÖ[3]] /[2] = a² + 2abi – b²

-1/2 = a² – b²

[-Ö[3]] /[2] = 2ab Þ a = [-Ö[3]] /[4b]

-1/2 = 3/[16b²] – b² /*16b²

-8b² = 3 – 16b4

16b4 – 8b² – 3 = 0 b² = u

16u² – 8u – 3 = 0

u1,2 = [8 ± Ö[64 + 192] ]/32 = [8 ± Ö[256] ]/32 = [8 ± 16]/32

u1 = 24/32 = ¾

u2 = -8/32 = -1/4

b² = ¾ b1,2 = ± Ö[3]/2

b² = -1/4 b3,4 = ± i/2 Ï R

a1,2 = ± Ö[3] /[2Ö[3] ] = ± ½

L = {-1/2 + Ö[3]/2 i ; ½ – Ö[3]/2 i}

r = Ö[a² + b²] = Ö[1/4 + 3/4] = Ö[1] = 1

j = arctan [b/a] = arctan [ [-Ö[3]/2] /[-1/2] ] = arctan Ö[3] = 240°

Ö[-1/2 – [iÖ[3]] /[2] ] = Ö[(1;240°)] = (Ö[1]; 240°/2) = (1;120°) = -1/2 + Ö[3]/2 i

Ö[(1;240°)] = (Ö[1]; [240°+360°] /2) = (Ö[1]; 600°/2) = (1;300°) = ½ – Ö[3]/2 i

L = {-1/2 + Ö[3]/2 i ; ½ – Ö[3]/2 i}

z³ – 1 = 0 = (z – 1) (z² + z + 1)

z1 = 1

z² + z + 1 = 0

z2,3 = -1/2 ± Ö[1/4 – 1] = -1/2 ± Ö[-3/4] = -1/2 ± Ö[3]/2 i

z2 = -1/2 + Ö[3]/2 i

z3 = -1/2 – Ö[3]/2 i

L = {1 ; -1/2 + Ö[3]/2 i ; -1/2 – Ö[3]/2 i}

Bsp. 7)

9z² – 18 (1+i) z + 2 (16+21i) = 0 G = C

z1,2 = [18 (1+i) ± Ö[324 (1+2i-1) – 72 (16+21i)] ] /18 =

= [18 + 18i ± Ö[648i – 1152 – 1512i] ] /18 = [(18 + 18i) ± Ö[-1152 – 864i] ] /18 = /*

= [(18 + 18i) ± (12 – 36i)] /18

z1 = [18 + 18i + 12 – 36i] /18 = [30 – 18i] /18 = 5/3 – i

z2 = [18 + 18i – 12 + 36i] /18 = [6 + 54i] /18 = 1/3 + 3i

L = {5/3 – i ; 1/3 + 3i}



*) Ö[-1152 – 864i] = Ö[(1440;216.87°)] =

= (Ö[1440]; 216.87°/2) = (37.95;108.43°) =

= -12 + 36i


= (Ö[1440]; [216.87° + 360°] /2) =

= (Ö[1440]; 576.87°/2) = (37.95;288,43°) =

= 12 – 36i



Bsp. 8)

Polynome

Definition:

Eine Linearkombination der Form

P n(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a 0 = n å i=0 a i x i

, wobei a i Î C und a n ¹ 0, heißt ein Polynom n-ten Grades in 1 Variablen.

n …………….. Grad des Polynoms

a i …………… Koeffizienten

a 0 …………… konstantes Glied



Nullstellen:

Eine Zahl a heißt Nullstelle von P n(a) = a n x n + … + a 0 , wenn P n(a) = 0.



Fundamentalsatz der Algebra von Gauss:

Jedes Polynom n-ten Grades hat mindestens 1 Nullstelle in C.

Þ Jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen in C.



Das HORNER´sche Verfahren zur Berechnung von Polynomwerten:

P3 (x) = a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 =

= x (a3 x² + a2 x + a1) + a0 =

= x [x (a3 x + a2) + a1] + a0




a3


a2


a1


a0

a


a3


a3 * a + a2


a (a3 a + a2) + a1


a [a (a3 a + a2) + a1] + a0 = P3 (a)



P4 (x) = 5 x4 – x³ + 3x + 4

ges.: P4 (-3) = 427

P4 (2) = 82




5


-1


0


3


4

-3


5


-16


48


-141


427

2


5


9


18


39


82



P3 (z) = z³ – 2z² + z – 3

P3 (2+i) = -5 + 4i

P3 (2-i) = -5 – 4i




1


-2


1


-3

2 + i


1


i


2i


-5 + 4i

2 – i


1


-i


-2i


-5 – 4i



allgemein: P (z-) = [P (z)]- , nur dann, wenn a i Î R



Zerfällen von algebraischen Gleichungen, Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades:

geg.: Pn (x) = 1 x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a1 x + a0 = 0

Voraussetzung: an = 1 ………. Polynom n-ten Grades

Annahme: x1 ….. Lösung von Pn (x)

Pn (x-1) = x1 n + a n-1 x1 n-1 + a n-2 x1 n-2 + … + a1 x1 + a0 = 0

(x n – x1 n) + a n-1 (x n-1 – x1 n-1) + a n-2 (x n-2 – x1 n-2) + … + a1 (x – x1) = 0

(x – x1) [x n-1 + b n-2 x n-2 + … + b1 x + b0] = 0 ……………….. Polynom (n-1)-ten Grades

Þ $ n Lösungen: x1, x2, …, xn

(x – x1) (x – x2) (x – x3) … (x – xn) = 0

Pn (x) = x n + a n-1 x n-1 + … + a1 x + a0 = (x – x1) (x – x2) … (x – xn)



x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24 = 0

x1 = 1

x2 = -2

(x – 1) ( x + 2) = x² + x – 2

(x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24) : (x² + x – 2) = x² + x – 12

– x4 – x³ + 2x²

x³ – 11x² – 14x

– x³ – x² + 2x

– 12x² – 12x + 24

+ 12x² + 12x – 24

0 R.

x² + x – 12 = 0

x3,4 = -1/2 ± Ö[1/4 + 12] = -1/2 ± Ö[49/4] = -1/2 ± 7/2

x3 = 3

x4 = -4

L = {1; -2; 3; -4}

Bsp. 9)

Gleichungen höheren Grades (>2)

a) Reziproke Gleichungen (Symmetrische Gleichungen):

Reziproke Gleichungen sind Gleichungen, die zu jeder Lösung a auch 1/a als Lösung besitzen. Reziproke Gleichungen sind symmetrisch bzw. antisymmetrisch.

a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0

symmetrisch: a3 = a0

a2 = a1

antisymmetrisch: a3 = – a0

a2 = – a1

2x³ – 3x² – 3x + 2 = 0 G = R

2x³ + 2 – 3x² – 3x = 0

2 (x³ + 1) – 3x (x + 1) = 0

2 (x + 1) (x² – x + 1) – 3x (x + 1) = 0

(x + 1) [2 (x² – x + 1) – 3x] = 0

x1 = -1 2x² – 5x + 2 = 0

x2,3 = [5 ± Ö[25 – 16] ] /4 = [5 ± Ö[9] ] /4 = [5 ± 3] /4

x2 = [5 + 3] /4 = 8/4 = 2

x3 = [5 – 3] /4 = 2/4 = ½

L = {-1; 1/2; 2}

2x³ – 3x² + 3x – 2 = 0 G = R

2x³ – 2 – 3x² + 3x = 0

2 (x³ – 1) – 3x (x – 1) = 0

2 (x – 1) (x² + x + 1) – 3x (x – 1) = 0

(x – 1) [2 (x² + x + 1) – 3x] = 0

x1 = 1 2x² – x + 2 = 0

x2,3 = [1 ± Ö[1 – 16] ] /4 = [1 ± Ö[-15] ] /4 = [1 ± 3.87i] /4

x2 = [1 + 3.87i] /4 = ¼ + 0.97i Ï R

x3 = [1 – 3.87i] /4 = ¼ – 0.97i Ï R

L = {1}

Jede reziproke Gleichung 3. Grades hat entweder 1 oder -1 als Lösung.



b) 2×4 + 5x³ + 4x² + 5x + 2 = 0 /:x² ¹ 0 G = C

2x² + 5x + 4 + 5/x + 2/x² = 0

(2x² + 2/x²) + (5x + 5/x) + 4 = 0

2 (x² + 1/x²) + 5 (x + 1/x) + 4 = 0

x + 1/x = u /² … Substitution

x² + 2 + 1/x² = u²

x² + 1/x² = u² – 2

2 (u² – 2) + 5u + 4 = 0

2u² + 5u = 0

u (2u + 5) = 0

u1 = 0 u2 = -5/2

x + 1/x = 0 /*x

x² + 1 = 0

x² = -1 /Ö

x = ± i

x1 = i

x2 = -i

x + 1/x = -5/2 /*x

x² + 5/2 x + 1 = 0

x3,4 = -5/4 ± Ö[25/16 – 1] = -5/4 ± Ö[9/16] = -5/4 ± ¾

x3 = -5/4 + ¾ = -2/4 = -1/2

x4 = -5/4 – ¾ = -8/4 = -2

L = {i; -i; -1/2; -2}



c) a4 x4 + a2 x² + a0 = 0 G = C

x² = u

a4 u² + a2 u + a0 = 0

usw.



d) a0 = 0 Þ x herausheben, usw.



e) x4 – 6x³ + 14x² – 16x + 8 = 0 G = C

T8 = {±1; ±2; ±4; ±8}




1


-6


14


-16


8

2


1


-4


6


-4


0

x1 = 2

x³ – 4x² + 6x – 4 = 0

T4 = {±1; ±2; ±4}




1


-4


6


-4

2


1


-2


2


0

x2 = 2

x² – 2x + 2 = 0

x3,4 = 1 ± Ö[1 – 2] = 1 ± Ö[-1] = 1 ± i

x3 = 1 + i

x4 = 1 – i

L = {2 (2) ; 1+i; 1-i}



2×4 + x³ – 9x² + 16x – 6 = 0 G = C

T = {±1; ±2; ±3; ±6; ± 1/2; ± 3/2}




2


1


-9


16


-6

-3


2


-5


6


-2


0

x1 = -3

2x³ – 5x² + 6x – 2 = 0

T = {±1; ±2; ± 1/2}




2


-5


6


-2

1/2


2


-4


4


0

x2 = ½

2x² – 4x + 4 = 0 /:2

x² – 2x + 2 = 0

x3,4 = 1 ± Ö[1 – 2] = 1 ± Ö[-1] = 1 ± i

x3 = 1 + i

x4 = 1 – i

L = {-3; 1/2; 1+i; 1-i}



f) Gleichungen ab dem 5. Grad sind nicht mehr allgemein lösbar.

Bsp. 10)

Funktionen

1) Funktion:

Definition:

Eine Funktion f: x ® y ist eine Zuordnung, die jedem Element von x = Df genau ein Element von y = f(x) der Wertemenge Wf Í y zuordnet.

Þ Funktion = eindeutige Zuordnung !



A = {2; 4; 5}

B = {8; 5; 15}

f: „x ist Teiler von y“

(1)

… Pfeildiagramm

f ist zwar eine Zuordnung, aber keine Funktion

(2) Menge von geordneten Paaren:

f: {(2/8); (4/8); (5/5); (5/15)}

(3)

(4) Wertetabelle



Definition:

Eine Funktion f heißt injektiv, wenn jedes y Î Y höchstens einmal getroffen wird.

injektiv: “ x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2)

Eine Funktion f heißt surjektiv, wenn jedes y Î Y mindestens einmal getroffen wird.

Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.



2) Monotonie:

Definition:

y = f(x) heißt streng monoton steigend (monoton steigend), wenn

“ x1 < x2 Î D Þ f(x1) < f(x2)

(f(x1) £ f(x2))

y = f(x) heißt streng monoton fallend (monoton fallend), wenn

“ x1 < x2 Î D Þ f(x1) > f(x2)

(f(x1) ³ f(x2))



3) Umkehrfunktion:

f*: Umkehrzuordnung x « y



4) Beschränktheit:

Definition:

Eine Funktion y = f(x) heißt nach oben beschränkt, wenn $ M Î R, daß f(x) £ M “ x Î Df

Eine Funktion y = f(x) heißt nach unten beschränkt, wenn $ m Î R, daß f(x) ³ m “ x Î Df

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist.

größte untere Schranke = Infimum = inf f(x)

kleinste obere Schranke = Supremum = sup f(x)



5) Intervalle, Umgebungen:

Definition:

geg.: a £ b a, b Î R

offenes Intervall = ]a; b[ = (a; b) = {x Î R ç a < x < b}

abgeschlossenes Intervall = [a; b] = {x Î R ç a £ x £ b}

e – Umgebung von a:

e – Umgebung von a = U(a; e)

® e > 0

U(a; e) = ]a-e; a+e[ = {x Î R ç a-e < x < a+e} = {x Î R ç çx-aç < e}



6) Stetigkeit:

geg.: y = f(x)

lim [x®a1-0] f(x) = lim [x®a1+0] f(x) = f(a1)

Grenzwert Grenzwert Funktionswert

von links von rechts



Definition:

Eine Funktion y = f(x) ist an der Stelle a stetig, wenn “ e > 0 (e-Umgebungen um f(a)) $ d = d(e) > 0 (um a), so daß “ x Î ]a-d; a+d[ : çf(x) – f(a)ç < e

Eine Funktion y = f(x) heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle von Df stetig ist.



Eine stetige Kurve muß eine zusammenhängende Kurve sein.

lim [x®0-0] sgn x = -1 lim [x®0+0] sgn x = 1 sgn 0 = 0

Þ an Stelle 0 nicht stetig



7) Sätze über stetige Funktionen:

(1) Zwischenwertsatz:

Ist f in [a; b] eine stetige Funktion und gilt f(a) ¹ f(b), so nimmt f in ]a; b[ jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal an.



(2) Nullstellensatz:

Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so besitzt f in ]a; b[ mindestens eine Nullstelle.



(3) Sind f und g in [a; b] stetig, so ist auch stetig:

a) c * f c Î R

b) f + c c Î R

c) f ± g

d) f * g

e) f / g , wenn g ¹ 0 in [a; b]

f) f n n Î N

Bsp. 11)

Differentialrechnung (Infinitesimalrechnung)

Isaac Newton (1643 – 1727) mit Hilfe der Momentangeschwindigkeit

Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 – 1716) mit Hilfe des Tangentenproblems



1) Differenzenquotient, Differentialquotient:

Aufgabe der Differentialrechnung: Bestimmung des Anstiegs der Tangente in beliebigem Kurvenpunkt

geg.: y = f(x) … stetig

P Î f

ges.: t in P

Q ® P Û Dx ® 0

Sekantenfolge

lim [n®¥] sn = t

Unter der Tangente in P versteht man die Grenzlage der Sekanten, wenn Q sich P nähert.

Unter dem Anstieg einer Kurve in P versteht man den Anstieg der Tangente in P.



Steigung von s1: tan b = Dx / Dy = [f(x + Dx) – f(x)] /Dx … Differenzenquotient = Anstieg der Sekante

Q: f(x + Dx) = y + Dy

Dy = f(x + Dx) – y

Dy = f(x + Dx) – f(x)

tan a = y´(x) = f´(x) = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) – f(x)] /Dx = dy / dx

… Differentialquotient = Anstieg der Tangente = 1. Ableitung von y = f(x)

Differenzieren bedeutet Berechnung des Differentialquotienten = Berechnung des Anstiegs einer Kurve

Bsp. 12)

Ableitung einfacher Funktionen

a) konstante Funktion:

y = c

y´ = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) – f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [c – c] /Dx =

= lim [Dx®0] 0/Dx = lim [Dx®0] 0 = 0



b) Ableitung von y = xn: n Î N

y = xn

y´ = n * x n-1

Beweis:

y = xn n Î N

a² – b² = (a – b) (a + b)

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

… …

an – bn = (a – b) (a n-1 + a n-2 b + a n-3 b² + … + a b n-2 + b n-1 ) /:(a – b)

[an – bn] /[a – b] = a n-1 + a n-2 b + … + a b n-2 + b n-1 … n Glieder

a = x + Dx

b = x

y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) – f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [(x + Dx) n – x n] /Dx =

= lim [Dx®0] [Dx [(x + Dx) n-1 + (x + Dx) n-2 x + … + x n-1] ] /Dx =

= lim [Dx®0] [(x + Dx) n-1 + (x + Dx) n-2 x + … + x n-1] = x n-1 + x n-2 x + x n-3 x² + … + x n-1 =

= x n-1 + x n-1 + x n-1 + … = … n Glieder

= n * x n-1 q. e. d.

gilt auch für beliebige Exponenten



c) Ableitung von y = a * xn: a Î R … konstanter Faktor

y´ = lim [Dx®0] Dy / Dx = lim [Dx®0] [f(x + Dx) – f(x)] /Dx =

= lim [Dx®0] [a (x + Dx) n – a * x n] /Dx = lim [Dx®0] [a [(x + Dx) n – x n] ] /Dx =

= a lim [Dx®0] [(x + Dx) n – x n] /Dx = a * n * x n-1

y = a * xn

y´ = a * n * x n-1

y = a * f(x)

y´ = a * f´(x)

Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.



d) Ableitung einer Summe (Differenz):

geg.: y = u(x) + v(x) = f(x)

Behauptung: y´ = u´(x) + v´(x)

Voraussetzung:

$ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) – u(x)] /Dx

$ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) – v(x)] /Dx

Beweis:

y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) – f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [ [u(x + Dx) + v(x + Dx)] – [u(x) + v(x)] ] /Dx =

= lim [Dx®0] [ [u(x + Dx) – u(x)] /Dx + [v(x + Dx) – v(x)] /Dx ] =

= lim [Dx®0] [u(x + Dx) – u(x)] /Dx + lim [Dx®0] [v(x + Dx) – v(x)] /Dx =

= u´(x) + v´(x) q. e. d.

u, v … differenzierbar, d. h. zumindest stetig, Þ daher Grenzwert und Funktionswert vertauschbar

Ableitung einer Summe (Differenz) = Summe (Differenz) der Ableitungen



e) Produktregel:

geg.: y = u(x) * v(x) = f(x)

Voraussetzung:

$ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) – u(x)] /Dx

$ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) – v(x)] /Dx

y´ = lim [Dx®0] [f(x + Dx) – f(x)] /Dx = lim [Dx®0] [u(x + Dx) * v(x + Dx) – u(x) * v(x)] /Dx =

= lim [Dx®0] [u(x + Dx) * v(x + Dx) – u(x) * v(x + Dx) + u(x) * v(x + Dx) – u(x) * v(x)] /Dx =

= lim [Dx®0] [v(x + Dx) [u(x + Dx) – u(x)] + u(x) [v(x + Dx) – v(x)] ] /Dx =

= lim [Dx®0] [v(x + Dx) [u(x + Dx) – u(x)] /Dx] + lim [Dx®0] [u(x) [v(x + Dx) – v(x)] /Dx] =

= v(x) * u´(x) + u(x) * v´(x) q. e. d.

y = u(x) * v(x)

y´= u´(x) * v(x) + u(x) * v´(x)



f) Ableitung eines Quotienten:

y = u / v

y´ = [u´ * v – u * v´] /v²

y = u(x) / v(x) = f(x)

y´ = [u´(x) * v(x) – u(x) * v´(x)] /[v(x)²] = f´(x)

Annahme:

$ u´(x) = lim [Dx®0] [u(x + Dx) – u(x)] /Dx

$ v´(x) = lim [Dx®0] [v(x + Dx) – v(x)] /Dx

Beweis:

u(x) / v(x) = f(x) /*v(x)

u(x) = f(x) * v(x) /´

u´(x) = f´(x) * v(x) + f(x) * v´(x)

f´(x) * v(x) = u´(x) – f(x) * v´(x) /:v(x)

f´(x) = [u´(x) – f(x) * v´(x)] /[v(x)]

f´(x) = [u´(x) – u(x)/v(x) * v´(x)] /[v(x)] =

= [ [u´(x) * v(x) – u(x) * v´(x)] /[v(x)] ] /[v(x)] =

= [u´(x) * v(x) – u(x) * v´(x)] /[v²(x)]



Spezialfälle:

1) y = 1/v(x) y´ = – [v´(x)] /[v²(x)]

2) y = 1/x y´ = – 1/x² y´´ = 2x/x4 = 2/x³ y´´´ = – 6/x4



g) Kettenregel:

y = f(z) … äußere Funktion

z = g(x) … innere Funktion

y = f(z) = f(g(x)) = h(x)

h = f ° g

y´ = f´(z) * g´(x)



h) Ableitung der Kettenregel:

geg.: y = h(x) = f(g(x)) = f(z)

Voraussetzung:

$ f´(z) = lim [Dx®0] [f(z + Dz) – f(z)] /Dz

$ g´(x) = lim [Dx®0] [g(x + Dx) – g(x)] /Dx

Beweis:

g(x) = z

g(x + Dx) = z + Dz

(Dx®0 Û Dz®0)

Dz = g(x + Dx) – z = g(x + Dx) – g(x)

y´ = lim [Dx®0] [h(x + Dx) – h(x)] /Dx = lim [Dx®0] [f(g(x + Dx)) – f(g(x))] /Dx =

= lim [Dx®0; Dz®0] [f(z + Dz) – f(z)] /Dx = lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) – f(z)] /Dx * Dz/Dz ] =

= lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) – f(z)] /Dz * Dz/Dx ] =

= lim [Dx®0; Dz®0] [ [f(z + Dz) – f(z)] /Dz * [g(x + Dx) – g(x)] /Dx ] =

= lim [Dz®0] [f(z + Dz) – f(z)] /Dz * lim [Dx®0] [g(x + Dx) – g(x)] /Dx =

= f´(z) * g´(x) q. e. d.

Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.

Bsp. 13)

geg.: y = [3x² + 1] /[2x Ö[7 – 4x] ]

ges.: Gleichung der Tangente in P (1/y)

y´ = [6x * 2x Ö[7 – 4x] – (3x² + 1) [2 Ö[7 – 4x] + 2x * ½ (7 – 4x)^(-1/2) (-4)] ] /[(2x Ö[7 – 4x])²] =

= [12x² Ö[7 – 4x] – (3x² + 1) [2 Ö[7 – 4x] + [-4x]/[ Ö[7 – 4x]] ] ] /[4x² (7 – 4x)] =

= [12x² Ö[7 – 4x] – (3x² + 1) [2 (7 – 4x) – 4x]/[ Ö[7 – 4x]] ] /N =

= [12x² Ö[7 – 4x] – [(3x² + 1) (-12x + 14)]/[ Ö[7 – 4x]] ] /N =

= [ [12x² (7 – 4x) + 36x³ – 42x² + 12x – 14]/[ Ö[7 – 4x]] ] /N =

= [-12x³ + 42x² + 12x – 14] /[4x² (7 – 4x) Ö[7 – 4x]] =

= [-6x³ + 21x² + 6x – 7] /[2x² (7 – 4x) Ö[7 – 4x]]

y(1) = 4 /[2Ö[3]] = 2/Ö[3]

P (1 / 2/Ö[3])

t: y = kx + d

y´(1) = [-6 + 21 + 6 – 7] /[2 * 3 Ö[3]] = 14/[6Ö[3]] = 7/[3Ö[3]] = k

y = 7/[3Ö[3]] x + d

P: 2/Ö[3] = 7/[3Ö[3]] * 1 + d

d = 2/Ö[3] – 7/[3Ö[3]] = [6 – 7] /[3Ö[3]] = – 1/[3Ö[3]]

t: y = 7/[3Ö[3]] x – 1/[3Ö[3]]

Bsp. 14)

Sätze der Differentialrechnung

Satz von Rolle:

Ist f in [a; b] stetig und in ]a; b[ differenzierbar und gilt f(a) = f(b), so $ mindestens 1 Stelle x in ]a; b[ mit f´(x) = 0



Mittelwertsatz der Differentialrechnung:

Ist f in [a; b] stetig und in ]a; b[ differenzierbar, so besitzt f in ]a; b[ mindestens 1 Stelle x mit f´(x) = [f(b) – f(a)] /[b – a]

Sehne s: tan a = [f(b) – f(a)] /[b – a]

Þ mindestens 1 zur Sehne f(a)-f(b) || Tangente

Bsp. 15)

geg.: f: R ® R, x ® ax³ + bx² + cx + d hat im Ursprung die Steigung 3 und im Punkt T (6/0) einen Tiefpunkt

g: R ® R, x ® px² + qx + r hat einen Scheitelpunkt an der Stelle 3 und schneidet f im Ursprung

rechtwinkelig

ges.: f, g, Diskussion

f: y = ax³ + bx² + cx + d

y´ = 3ax² + 2bx + c

f: y(0) = 0 = d

y(6) = 0 = 216a + 36b + 6c + d

y´(0) = 3 = c

y´(6) = 0 = 108a + 12b + c

Þ a = 1/12 ; b = -1 ; c = 3 ; d = 0

f: y = (1/12)x³ – x² + 3x

g: y = px² + qx + r

y´ = 2px + q

g: y(0) = 0 = r

y´(3) = 0 = 6p + q

y´(0) = -1/3 = q

Þ p = 1/18 ; q = -1/3 ; r = 0

g: y = (1/18)x² – (1/3)x

Diskussion:

f: y = (1/12)x³ – x² + 3x

y´ = (1/4)x² – 2x + 3

y´´ = (1/2)x – 2

1) D = R

2) (1/12)x³ – x² + 3x = 0

Þ x1 = 0

x2,3 = 6

N1 (0/0)

N2 (6/0) (2)

3) $ a

4) (1/4)x² – 2x + 3 = 0

Þ x1 = 6

x2 = 2

y´´(6) = 1 > 0 Þ T (6/0)

y´´(2) = -1 < 0 Þ H (2/[8/3])

5) (1/2)x – 2 = 0

x = 4

W (4/[4/3])

w: y = kx + d

y´(4) = -1

4/3 = -4 + d

d = 16/3

w: y = -x + 16/3


g: y = (1/18)x² – (1/3)x

y´ = (1/9)x – (1/3)

y´´ = 1/9

D = R

(1/18)x² – (1/3)x = 0

Þ x1 = 0

x2 = 6

N1 (0/0)

N2 (6/0)

$ a

(1/9)x – (1/3) = 0

x = 3

y´´(3) = 1/9 > 0 Þ T (3/[-1/2])





1/9 = 0 f. A.

Þ $ W













6)

x


x < 2


x = 2


2< x <6


x = 6


x > 6





x


x < 3


x = 3


x > 3




> 0


0


< 0


0


> 0








< 0


0


> 0

Þ


s. m. st.


H


s. m. f.


T


s. m. st.





Þ


s. m. f.


T


s. m. st.

































x


x < 4


x = 4


x > 4











x









f´´


< 0


0


> 0











g´´


> 0







Þ


neg. gekr.


W


pos. gekr.











Þ


pos. gekr.







7)



Bsp. 16)

geg.: y = x³/[(x-1)²]

ges.: Kurvendiskussion

y = x³/[(x-1)²]

y´ = [3x² (x-1)² – x³ 2(x-1)] /[(x-1)^4] = [(x-1) [3x² (x-1) – 2x³] /[(x-1)^4] = [3x³ – 3x² – 2x³] /[(x-1)³] =

= [x³ – 3x²] /[(x-1)³]

y´´ = [(3x² – 6x) (x-1)³ – (x³ – 3x²) 3(x-1)²] /[(x-1)^6] = [(x-1)² [(3x² – 6x) (x-1) – 3(x³ – 3x²)]] /[(x-1)^6] =

= [3x³ – 6x² – 3x² + 6x – 3x³ + 9x²] /[(x-1)^4] = [6x] /[(x-1)^4]

1) (x-1)² = 0 /Ö

x-1 = 0

x = 1

D = R \ {1}

2) x³/[(x-1)²] = 0 /*N

x³ = 0

x = 0

N (0/0) (3)

3) a1: x = 1

lim [x®±¥] (x³/[(x-1)²]) = lim [x®±¥] (x + [2x² – x] /[x² – 2x + 1]) =

= lim [x®±¥] (x + [2x²/x² – x/x²] /[x²/x² – 2x/x² + 1/x²]) = lim [x®±¥] (x + [2 – 1/x] /[1 – 2/x + 1/x²]) =

= lim [x®±¥] (x + 2)

a2: y = x + 2

4) [x³ – 3x²] /[(x-1)³] = 0 /*N

x³ – 3x² = 0

Þ x1,2 = 0

x3 = 3

y´´(0) = 0 Þ S (0/0) (2)

y´´(3) = 9/8 > 0 Þ T (3/[27/4])

5) [6x] /[(x-1)^4] = 0 /*N

6x = 0

x = 0

W (0/0)

w: y = kx + d

y´(0) = 0

d = 0

w: y = 0

6)

x


x < 0


x = 0


0 < x < 1


1 < x < 3


x = 3


x > 3




> 0


0


> 0


< 0


0


> 0

Þ


s. m. st.


S


s. m. st.


s. m. f.


T


s. m. st.





















x


x < 0


x = 0


0 < x < 1


x > 1







f´´


< 0


0


> 0


> 0







Þ


neg. gekr.


W


pos. gekr.


pos. gekr.







7)



Bsp. 17)

Einem gleichschenkeligen Dreieck soll jenes Rechteck eingeschrieben werden, daß den größten Flächeninhalt besitzt !

HB: A = x * y ….. Max.

DAMC » DADE ….. Strahlensatz

a/2 : h = AD : DE

a/2 : h = (a/2 – x/2) : y

a/2 * y = h (a/2 – x/2)

y = [2h (a/2 – x/2)] /[a]

NB: y = [h (a – x)] /[a]

A = x * [h (a – x)] /[a]

f(x) = x * [h (a – x)] /[a] = h/a * x(a-x)

f(x) = h/a (ax – x²)

f´(x) = h/a (a – 2x)

h/a (a – 2x) = 0

a – 2x = 0

x = a/2

NB: y = [h (a – a/2)] /[a] = [[a h] /2] /[[TG2] a] = [a h] /[2a] = h/2

y = h/2

Dx = [0;a]

Dy = [0;h]

HB: A = x * y = a/2 * h/2 = [a h] /4

f´´(x) = h/a (-2)

f´´(a/2) = [-2h] /[[TG3] a] < 0 Þ Max.

A: Das Rechteck mit den Seiten a/2 ; h/2 hat den maximalen Flächeninhalt [a h] /4 .

Bsp. 18)

Welches von allen Rechtecken mit gegebener Diagonale hat die größte Fläche ?

HB: A = a * b ….. Max. NB: a² + b² = d²

A = a Ö[d² – a²] b = Ö[d² – a²]

g(a) = a Ö[d² – a²] /²

f(a) = g²(a) = a² (d² – a²) NB: b = Ö[d² – a²] =

f(a) = a²d² – a^4 = Ö[d² – d²/2] = Ö[d²/2] =

f´(a) = 2ad² – 4a³ = d/2 Ö[2]

0 = d² * 2a – 4a³ = a (d² * 2 – 4a²)

a1 = 0 2d² = 4a² A = a b = (d/2 Ö[2])² = d²/2

a² = d²/2

a2 = d/2 Ö[2]

f´´(a) = 2d² – 12a²

f´´(0) = 2d² > 0 Þ Min.

f´´(d/2 Ö[2]) = 2d² – 12 d²/2 = 2d² – 6d² = -4d² < 0 Þ Max.

A: Das Quadrat mit der Seitenlänge d/2 Ö[2] hat die maximale Fläche d²/2 .

Bsp. 19)

Von einem quadratischen Blech (Seitenlänge = a) werden an den Ecken Quadrate ausgeschnitten, aus dem Rest wird eine Schachtel gebildet. Wie groß muß die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate sein, daß das Volumen der Schachtel maximal wird ?

HB: V = G * h = (a – 2x)² * x = f(x)

Dx = [0;a/2]

f´(x) = 2(a – 2x) (-2)x + (a – 2x)² = -4x (a – 2x) + (a – 2x)²

0 = -4x (a – 2x) + (a – 2x)²

4x (a – 2x) = (a – 2x)² /:(a – 2x) a – 2x = 0

4x = a – 2x a = 2x

6x = a x = a/2 ® Randextremum

x = a/6

V = (a – a/3)² * a/6 = (2a/3)² * a/6 = [4a²]/9 * a/6 = [4a³] /[54] = [2a³] /[27]

f´´(x) = -4(a – 2x) + (-4x) (-2) + 2(a – 2x) (-2) = -8a + 24x

f´´(a/6) = -8a + [24a]/6 = -8a + 4a = -4a < 0 Þ Max.

f´´(a/2) = -8a + [24a]/2 = -8a + 12a = 4a > 0 Þ Min.

A: Die Quadrate müssen die Seitenlänge a/6 haben, damit das Volumen maximal [2a³] /[27] wird.

Bsp. 20)

Einem Drehkegelstumpf (R, r, h) werden Drehzylinder eingeschrieben, deren Grundflächen konzentrisch in der Grundfläche des Drehzylinders liegen. Wie sind die Maße des Zylinders mit maximalem Volumen ?

HB: V = x²py ….. Max. NB: (R-x) : y = (R-r) : h

f(x) = x²p [h(R-x)] /[R-r] = y = [h(R-x)] /[R-r]

= p [h] /[R-r] x²(R-x)

g(x) = x² (R-x) = Rx² – x³ Dx = [0;R]

g´(x) = 2Rx – 3x² Dy = [0;h]

2Rx – 3x² = 0

x (2R – 3x) = 0 y = [h (R – 2/3 R)] /[R-r] = [[h R]/3] /[R-r] =

x1 = 0 2R = 3x = [R h] /[3 (R-r)]

x2 = 2/3 R

g´´(x) = 2R – 6x V = x²py = 4/9 R² p [R h] /[3(R-r)] =

g´´(2/3 R) = 2R – 4R = -2R < 0 Þ Max. = [4 R³ h p] /[27 (R-r)]

Þ r £ 2/3 R ® x = 2/3 R

r > 2/3 R ® x = r , y = h

A: Der Zylinder mit x = 2/3 R , y = [R h] /[3 (R-r)] hat maximales Volumen [4 R³ h p] /[27 (R-r)] .



Sonderfall:

r > [2/3]*R Þ x = r ; y = h

Bsp. 21)

Ableitung der Winkelfunktionen

a) Sinus:

y = sin x

y´ = cos x

BC = arc a

arc a = [p*a] /[180]

A Kreissektor = [r²*p*a] /[360] = [b*r] /[2]

b = [p*r*a] /[180]

r = 1 ® b = arc a ^ a

AD0AB < A Kreissektor 0CB < AD0CD

½ sin a cos a < a/2 < ½ tan a /: ½ sin a

cos a < [a] /[sin a] < [tan a] /[sin a]

cos a < [a] /[sin a] < [1] /[cos a]

lim [a®0] cos a £ lim [a®0] [a] /[sin a] £ lim [a®0] [1] /[cos a]

lim [a®0] cos a = cos 0 = 1

lim [a®0] [1] /[cos a] = 1/1 = 1

1 £ lim [a®0] [a] /[sin a] £ 1

Þ lim [a®0] [a] /[sin a] = 1

Þ lim [a®0] [sin a] /[a] = 1

sin a – sin b = 2 sin [a-b] /[2] cos [a+b] /[2]

x + Dx = a

x = b

Dx = a – b

y = sin x = f(x)

y´ = lim [Dx®0] [f(x+Dx) – f(x)] / [Dx] = lim [Dx®0] [sin (x+Dx) – sin x] / [Dx] =

= lim [Dx®0] [2 sin [x+Dx-x]/[2] cos [x+Dx+x]/[2]] / [Dx] =

= lim [Dx®0] [2 sin [Dx]/[2] cos [2x+Dx]/[2]] / [Dx] =

= lim [Dx®0] [sin [Dx]/[2]] / [[Dx]/[2]] cos (x + [Dx]/[2]) = cos x



b) Cosinus:

y = cos x = sin (p/2 – x)

y´ = cos (p/2 – x) * (-1) = – sin x



c) Tangens:

y = tan x = [sin x] /[cos x]

y´ = [cos² x – sin x (-sin x)] /[cos² x] = [cos² x + sin² x] /[cos² x] =

·) = [cos² x] /[cos² x] + [sin² x] /[cos² x] = 1 + tan² x

·) = [1] /[cos² x]



d) Cotangens:

y = cot x = [cos x] /[sin x]

y´ =

·) = -1 – cot² x

·) = – [1] /[sin² x]

Bsp. 22)

Kurvendiskussion:

y = 2 sin x + sin 2x [0;2p]

1) D = [0;2p]

2) 2 sin x + sin 2x = 0 ….. goniometrische Gleichung

2 sin x + 2 sin x cos x = 0 sin 2x = 2 sin x cos x

2 sin x (1 + cos x) = 0

2 sin x = 0 1 + cos x = 0

sin x = 0 cos x = -1

x1 = 0 x4 = p

x2 = p

x3 = 2p

N1 (0/0)

N2 (p/0) (2)

N3 (2p/0)

3) $ a

4) y´ = 2 cos x + 2 cos 2x cos 2x = cos² x – sin² x

0 = 2 cos x + 2 cos 2x

0 = 2 cos x + 2 (cos² x – sin² x) /:2

0 = cos x + cos² x – (1 – cos² x)

0 = cos x + cos² x – 1 + cos² x

2 cos² x + cos x – 1 = 0 /:2

cos² x + ½ cos x – ½ = 0

(cos x)1,2 = -1/4 ± Ö[1/16 + 1/2] = -1/4 ± Ö[9/16] = -1/4 ± ¾

(cos x)1 = -1 Þ x1 = p

(cos x)2 = ½ Þ x2 = p/3

x3 = 5p/3

y´´ = -2 sin x – 4 sin 2x

y´´(p) = 0 Þ S (p/0)

y´´(p/3) = -5.20 < 0 Þ H ([p/3]/2.60)

y´´(5p/3) = 5.20 > 0 Þ T ([5p/3]/-2.60)

5) 0 = – 2 sin x – 4 sin 2x

0 = – 2 sin x – 4 (2 sin x cos x)

0 = – 2 sin x – 8 sin x cos x /:(-2)

0 = sin x + 4 sin x cos x

0 = sin x (1 + 4 cos x)

sin x = 0 1 + 4 cos x = 0

x1 = 0 4 cos x = -1

x2 = p cos x = -1/4

x3 = 2p x4 = 1.82

x5 = 4.46

W1 (0/0) W4 (1.82/1.45)

W2 (p/0) W5 (4.46/-1.45)

W3 (2p/0)

y´(0) = 4 d = 0 – 4*0 = 0

y´(p) = 0 d = 0 – 0*p = 0

y´(2p) = 4 d = 0 – 4*2p = -8p

y´(1.82) = -2.25 d = 1.45 – (-2.25)*1.82 = 5.56

y´(4.46) = -2.25 d = -1.45 – (-2.25)*4.46 = 8.58

w1: y = 4x

w2: y = 0

w3: y = 4x – 8p

w4: y = -9/4 x + 5.56

w5: y = -9/4 x + 8.58

6)

x


0 < x < p/3


x = p/3


p/3 < x < p


x = p


p < x < 5p/3


x = 5p/3


5p/3 < x < 2p










> 0


0


< 0


0


< 0


0


> 0







Þ


s. m. st.


H


s. m. f.


S


s. m. f.


T


s. m. st.




































x


x = 0


0 < x < 1.82


x = 1.82


1.82 < x < p


x = p


p < x < 4.46


x = 4.46


4.46 < x < 2p


x = 2p

f´´


0


< 0


0


> 0


0


< 0


0


> 0


0

Þ


W


neg. gekr.


W


pos. gekr.


W


neg. gekr.


W


pos. gekr.


W

7)



Bsp. 23)

Kurvendiskussion:

y = sin x + cos x [-p/4;7p/4]

1) D = [-p/4;7p/4]

2) 0 = sin x + cos x

sin x = – cos x /:cos x

tan x = -1

x1 = 3p/4

x2 = 7p/4

x3 = -p/4

N1 ([-p/4]/0)

N2 ([3p/4]/0)

N3 ([7p/4]/0)

3) $ a

4) y´ = cos x – sin x

0 = cos x – sin x

sin x = cos x /:cos x

tan x = 1

x1 = p/4

x2 = 5p/4

y´´ = – sin x – cos x

y´´(p/4) = -Ö[2] < 0 Þ H ([p/4]/ Ö[2])

y´´(5p/4) = Ö[2] > 0 Þ T ([5p/4]/-Ö[2])

5) 0 = – sin x – cos x

sin x = – cos x /:cos x

tan x = -1

x1 = 3p/4

x2 = 7p/4

x3 = -p/4

W1 ([-p/4]/0)

W2 ([3p/4]/0)

W3 ([7p/4]/0)

y´(-p/4) = Ö[2] d = 0 – Ö[2] * (-p/4) = 1.11

y´(3p/4) = -Ö[2] d = 0 – (-Ö[2]) * (3p/4) = 3.33

y´(7p/4) = Ö[2] d = 0 – Ö[2] * (7p/4) = -7.78

w1: y = Ö[2] x + 1.11

w2: y = -Ö[2] x + 3.33

w3: y = Ö[2] x – 7.78

6)

x


-p/4 < x < p/4


x = p/4


p/4 < x < 5p/4


x = 5p/4


5p/4 < x < 7p/4




> 0


0


< 0


0


> 0

Þ


s. m. st.


H


s. m. f.


T


s. m. st.


















x


x = -p/4


-p/4 < x < 3p/4


x = 3p/4


3p/4 < x < 7p/4


x = 7p/4

f´´


0


< 0


0


> 0


0

Þ


W


neg. gekr.


W


pos. gekr.


W

7)



Bsp. 24)

Aus 3 gleich breiten Brettern (Breite = a) soll eine Rinne von möglichst großem trapezförmigem Querschnitt gebildet werden. In welchem Neigungswinkel müssen die Seitenwände zur Horizontalen geneigt sein ?

HB: A = [(a+c)*h]/2 1. NB: cos a = h/a

a= [(a+a+2a sin a)*a cos a]/2 = h = a cos a

= [(2a + 2a sin a) a cos a]/2 = 2. NB: sin a = [[c-a]/2]/a

= [2a (1 + sin a) a cos a]/2 = [c-a]/2 = a sin a

= a² cos a (1 + sin a) c-a = 2a sin a

Da = [0°;90°] c = a + 2a sin a

f(a) = (1 + sin a) cos a

f´(a) = cos a * cos a + (1 + sin a) (-sin a) =

= cos² a – sin a (1 + sin a) =

= cos² a – sin a – sin² a

cos² a – sin a – sin² a = 0

1 – sin² a – sin a – sin² a = 0

-2 sin² a – sin a + 1 = 0 /:(-2)

sin² a + ½ sin a – ½ = 0

(sin a)1,2 = -1/4 ± Ö[1/16 + 1/2] = -1/4 ± Ö[9/16] = -1/4 ± ¾

(sin a)1 = ½ Þ a1 = 30°

(sin a)2 = -1 Þ a2 = 270° Ï D

f´´(a) = 2 cos a (-sin a) – cos a – 2 sin a cos a = -2 sin a cos a – cos a – 2 sin a cos a =

= -4 sin a cos a – cos a

f´´(30°) = -4 sin 30° cos 30° – cos 30° = -2.60 < 0 Þ Max.

b = 90° + a = 120°

h = a cos a = [aÖ[3]]/2

c = a + 2a sin a = a + 2a/2 = 2a

A = [(a+c)*h]/2 = [(a + 2a) [aÖ[3]]/2]/2 = [3a²Ö[3]]/4

A: Die Wände müssen mit 120° geneigt sein, daß die Querschnittsfläche maximal [3a²Ö[3]]/4 ist.

Bsp. 25)

NEWTONsches Näherungsverfahren zum Lösen von algebraischen Gleichungen höheren Grades und transzendenten Gleichungen

z. B.: geg.: y = f(x) …………….. Polynom n-ten Grades

ges.: Nullstelle X

P (x0/y0) ……… Startwert = x0

rechnerisch:

t0: y = kx + d k = f´(x0)

y = f´(x0) * x + d

P (x0/y0): y0 = f´(x0) * x0 + d

d = y0 – f´(x0) * x0

Þ t0: y = f´(x0) * x + (y0 – f´(x0) * x0)

t0 Ç x-Achse: y = 0

0 = f´(x0) * x1 + (y0 – f´(x0) * x0)

x1 = [-y0 + f´(x0) * x0] /[f´(x0)]

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Anna

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Kafka Literaturverzeichnis
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Hermann Hesse Biographie und Werke
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Lebenslauf Milan Kundera
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